The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__U11(tt, N, X, XS) → a__U12(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__U12(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__fst(pair(X, Y)) → mark(X)
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__snd(pair(X, Y)) → mark(Y)
a__splitAt(0, XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__U11(tt, N, X, XS)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(U11(X1, X2, X3, X4)) → a__U11(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0) → 0
mark(nil) → nil
a__U11(X1, X2, X3, X4) → U11(X1, X2, X3, X4)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__snd(X) → snd(X)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__fst(X) → fst(X)
a__head(X) → head(X)
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
mark(U11(natsFrom(X114287_5), X2, X3, X4)) →⁺ a__U11(cons(mark(mark(X114287_5)), natsFrom(s(mark(X114287_5)))), X2, X3, X4)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0].
The pumping substitution is [X114287_5 / U11(natsFrom(X114287_5), X2, X3, X4)].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
mark(U11(natsFrom(X114287_5), X2, X3, X4)) →⁺ a__U11(cons(mark(mark(X114287_5)), natsFrom(s(mark(X114287_5)))), X2, X3, X4)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,1,0,0].
The pumping substitution is [X114287_5 / U11(natsFrom(X114287_5), X2, X3, X4)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__U11(tt, N, X, XS) → a__U12(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__U12(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__fst(pair(X, Y)) → mark(X)
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__snd(pair(X, Y)) → mark(Y)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__U11(tt, N, X, XS)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(U11(X1, X2, X3, X4)) → a__U11(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__U11(X1, X2, X3, X4) → U11(X1, X2, X3, X4)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__snd(X) → snd(X)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__fst(X) → fst(X)
a__head(X) → head(X)
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N, X, XS) → a__U12(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__U12(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__fst(pair(X, Y)) → mark(X)
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__snd(pair(X, Y)) → mark(Y)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__U11(tt, N, X, XS)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(U11(X1, X2, X3, X4)) → a__U11(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__U11(X1, X2, X3, X4) → U11(X1, X2, X3, X4)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__snd(X) → snd(X)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__fst(X) → fst(X)
a__head(X) → head(X)
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__U11 :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
tt :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__U12 :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__splitAt :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
mark :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
pair :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
cons :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__afterNth :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__snd :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__and :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__fst :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__head :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__natsFrom :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
natsFrom :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
s :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__sel :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
0' :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
nil :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__tail :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__take :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
U11 :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
U12 :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
splitAt :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
afterNth :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
snd :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
and :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
fst :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
head :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
sel :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
tail :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
take :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
hole_tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take1_0 :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
gen_tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take2_0 :: Nat → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11, a__U12, a__splitAt, mark, a__afterNth, a__snd, a__fst, a__head, a__natsFrom, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__splitAt
a__U11 = mark
a__U11 = a__afterNth
a__U11 = a__snd
a__U11 = a__fst
a__U11 = a__head
a__U11 = a__natsFrom
a__U11 = a__tail
a__U12 = a__splitAt
a__U12 = mark
a__U12 = a__afterNth
a__U12 = a__snd
a__U12 = a__fst
a__U12 = a__head
a__U12 = a__natsFrom
a__U12 = a__tail
a__splitAt = mark
a__splitAt = a__afterNth
a__splitAt = a__snd
a__splitAt = a__fst
a__splitAt = a__head
a__splitAt = a__natsFrom
a__splitAt = a__tail
mark = a__afterNth
mark = a__snd
mark = a__fst
mark = a__head
mark = a__natsFrom
mark = a__tail
a__afterNth = a__snd
a__afterNth = a__fst
a__afterNth = a__head
a__afterNth = a__natsFrom
a__afterNth = a__tail
a__snd = a__fst
a__snd = a__head
a__snd = a__natsFrom
a__snd = a__tail
a__fst = a__head
a__fst = a__natsFrom
a__fst = a__tail
a__head = a__natsFrom
a__head = a__tail
a__natsFrom = a__tail

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N, X, XS) → a__U12(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__U12(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__fst(pair(X, Y)) → mark(X)
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__snd(pair(X, Y)) → mark(Y)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__U11(tt, N, X, XS)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(U11(X1, X2, X3, X4)) → a__U11(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__U11(X1, X2, X3, X4) → U11(X1, X2, X3, X4)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__snd(X) → snd(X)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__fst(X) → fst(X)
a__head(X) → head(X)
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__U11 :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
tt :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__U12 :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__splitAt :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
mark :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
pair :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
cons :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__afterNth :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__snd :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__and :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__fst :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__head :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__natsFrom :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
natsFrom :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
s :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__sel :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
0' :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
nil :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__tail :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
a__take :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
U11 :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
U12 :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
splitAt :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
afterNth :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
snd :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
and :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
fst :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
head :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
sel :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
tail :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
take :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
hole_tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take1_0 :: tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take
gen_tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take2_0 :: Nat → tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take

Generator Equations:
gen_tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take2_0(+(x, 1)) ⇔ pair(tt, gen_tt:pair:cons:s:natsFrom:0':nil:U11:U12:splitAt:afterNth:snd:and:fst:head:sel:tail:take2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U12, a__U11, a__splitAt, mark, a__afterNth, a__snd, a__fst, a__head, a__natsFrom, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__splitAt
a__U11 = mark
a__U11 = a__afterNth
a__U11 = a__snd
a__U11 = a__fst
a__U11 = a__head
a__U11 = a__natsFrom
a__U11 = a__tail
a__U12 = a__splitAt
a__U12 = mark
a__U12 = a__afterNth
a__U12 = a__snd
a__U12 = a__fst
a__U12 = a__head
a__U12 = a__natsFrom
a__U12 = a__tail
a__splitAt = mark
a__splitAt = a__afterNth
a__splitAt = a__snd
a__splitAt = a__fst
a__splitAt = a__head
a__splitAt = a__natsFrom
a__splitAt = a__tail
mark = a__afterNth
mark = a__snd
mark = a__fst
mark = a__head
mark = a__natsFrom
mark = a__tail
a__afterNth = a__snd
a__afterNth = a__fst
a__afterNth = a__head
a__afterNth = a__natsFrom
a__afterNth = a__tail
a__snd = a__fst
a__snd = a__head
a__snd = a__natsFrom
a__snd = a__tail
a__fst = a__head
a__fst = a__natsFrom
a__fst = a__tail
a__head = a__natsFrom
a__head = a__tail
a__natsFrom = a__tail